問題は、以下の2つの不等式が表す領域を図示することです。 (1) $(x+y)(x-y+1) < 0$ (2) $(x+y+2)(x+y-1) \ge 0$

代数学不等式領域グラフ
2025/7/8

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの不等式が表す領域を図示することです。
(1) (x+y)(xy+1)<0(x+y)(x-y+1) < 0
(2) (x+y+2)(x+y1)0(x+y+2)(x+y-1) \ge 0

2. 解き方の手順

(1) (x+y)(xy+1)<0(x+y)(x-y+1) < 0
この不等式が成り立つのは、
* x+y>0x+y > 0 かつ xy+1<0x-y+1 < 0
* x+y<0x+y < 0 かつ xy+1>0x-y+1 > 0
のいずれかの場合です。
まず、x+y=0x+y=0xy+1=0x-y+1=0 をグラフに描きます。これらはそれぞれ y=xy = -xy=x+1y = x+1 という直線です。
次に、それぞれの直線によって分けられた領域で、不等式が成り立つかどうかを調べます。
* x+y>0x+y > 0y>xy > -x を意味し、xy+1<0x-y+1 < 0y>x+1y > x+1 を意味します。
したがって、この場合の領域は、y>xy > -x かつ y>x+1y > x+1 を満たす領域です。
* x+y<0x+y < 0y<xy < -x を意味し、xy+1>0x-y+1 > 0y<x+1y < x+1 を意味します。
したがって、この場合の領域は、y<xy < -x かつ y<x+1y < x+1 を満たす領域です。
これらの領域をグラフ上に図示します。境界線は不等号に等号が含まれていないため、点線で描きます。
(2) (x+y+2)(x+y1)0(x+y+2)(x+y-1) \ge 0
この不等式が成り立つのは、
* x+y+20x+y+2 \ge 0 かつ x+y10x+y-1 \ge 0
* x+y+20x+y+2 \le 0 かつ x+y10x+y-1 \le 0
のいずれかの場合です。
まず、x+y+2=0x+y+2 = 0x+y1=0x+y-1 = 0 をグラフに描きます。これらはそれぞれ y=x2y = -x - 2y=x+1y = -x + 1 という直線です。
次に、それぞれの直線によって分けられた領域で、不等式が成り立つかどうかを調べます。
* x+y+20x+y+2 \ge 0yx2y \ge -x-2 を意味し、x+y10x+y-1 \ge 0yx+1y \ge -x+1 を意味します。
したがって、この場合の領域は、yx2y \ge -x-2 かつ yx+1y \ge -x+1 を満たす領域です。
* x+y+20x+y+2 \le 0yx2y \le -x-2 を意味し、x+y10x+y-1 \le 0yx+1y \le -x+1 を意味します。
したがって、この場合の領域は、yx2y \le -x-2 かつ yx+1y \le -x+1 を満たす領域です。
これらの領域をグラフ上に図示します。境界線は不等号に等号が含まれているため、実線で描きます。

3. 最終的な答え

領域の図示は省略します。上記の手順に従ってグラフを作成してください。

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