和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}$

両辺に2をかけます。

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n)$

$-S = 1 \cdot 1 + (2 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + (3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^2) + \cdots + (n \cdot 2^{n-1} - (n-1) \cdot 2^{n-1}) - n \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

ここで、等比数列の和の公式を利用します。

$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S = -2^n + 1 + n \cdot 2^n$

$S = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$