数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

が成り立つ。これを利用して一般項を求める。

まず、$S_n = n^2 + 2n$ であるから、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 = n^2 - 1$

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - (n^2 - 1) = 2n + 1$

次に、$n=1$ のときを考える。

$S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$a_1 = S_1 = 3$

ここで、$a_n = 2n + 1$ に $n=1$ を代入すると、

$a_1 = 2(1) + 1 = 3$

となり、 $a_1 = 3$ と一致する。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2n + 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 1$