2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、定数 $a, b, c$ と $b^2 - 4ac$, $a + b + c$ の符号を求めよ。グラフは3つ与えられており、それぞれについて答える。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、定数 $a, b, c$ と $b^2 - 4ac$, $a + b + c$ の符号を求めよ。グラフは3つ与えられており、それぞれについて答える。

2. 解き方の手順

(1) グラフ1について

* $a$ の符号: グラフは下に凸なので、$a > 0$

* $c$ の符号: グラフとy軸の交点は負であるため、$c < 0$

* $b$ の符号: 軸の位置は、$x = -\frac{b}{2a}$。グラフより軸は正の範囲にある。$a > 0$ なので、$-\frac{b}{2a} > 0$ となるためには、$b < 0$。

* $b^2 - 4ac$ の符号: グラフとx軸の交点は2つあるので、$b^2 - 4ac > 0$。

* $a + b + c$ の符号: グラフは $x = 1$ のとき $y = a + b + c$ の値をとる。グラフより、$x = 1$ のとき $y < 0$ であるので、$a + b + c < 0$。

(2) グラフ2について

* $a$ の符号: グラフは上に凸なので、$a < 0$

* $c$ の符号: グラフとy軸の交点は正であるため、$c > 0$

* $b$ の符号: 軸の位置は、$x = -\frac{b}{2a}$。グラフより軸は負の範囲にある。$a < 0$ なので、$-\frac{b}{2a} < 0$ となるためには、$b < 0$。

* $b^2 - 4ac$ の符号: グラフとx軸の交点はなし。重解の場合を考えると、グラフとx軸が接しているわけではないので、$b^2 - 4ac < 0$。

* $a + b + c$ の符号: グラフは $x = 1$ のとき $y = a + b + c$ の値をとる。グラフより、$x = 1$ のとき $y < 0$ であるので、$a + b + c < 0$。

(3) グラフ3について

* $a$ の符号: グラフは下に凸なので、$a > 0$

* $c$ の符号: グラフとy軸の交点は正であるため、$c > 0$

* $b$ の符号: 軸の位置は、$x = -\frac{b}{2a}$。グラフより軸は負の範囲にある。$a > 0$ なので、$-\frac{b}{2a} < 0$ となるためには、$b > 0$。

* $b^2 - 4ac$ の符号: グラフとx軸の交点はなし。重解の場合を考えると、グラフとx軸が接しているわけではないので、$b^2 - 4ac < 0$。

* $a + b + c$ の符号: グラフは $x = 1$ のとき $y = a + b + c$ の値をとる。グラフより、$x = 1$ のとき $y > 0$ であるので、$a + b + c > 0$。

3. 最終的な答え

(1)

* $a > 0$

* $b < 0$

* $c < 0$

* $b^2 - 4ac > 0$

* $a + b + c < 0$

(2)

* $a < 0$

* $b < 0$

* $c > 0$

* $b^2 - 4ac < 0$

* $a + b + c < 0$

(3)

* $a > 0$

* $b > 0$

* $c > 0$

* $b^2 - 4ac < 0$

* $a + b + c > 0$