(1) (ア) $(2^{\frac{4}{3}} \times 2^{-1})^6 \times \{(\frac{16}{81})^{-\frac{7}{6}}\}^{\frac{3}{7}}$ を計算する。 (1) (イ) $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$を計算する。 (2) $2^{\log_8 27}$を計算する。

1. 問題の内容

(1) (ア) $(2^{\frac{4}{3}} \times 2^{-1})^6 \times \{(\frac{16}{81})^{-\frac{7}{6}}\}^{\frac{3}{7}}$ を計算する。

(1) (イ) $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$を計算する。

(2) $2^{\log_8 27}$を計算する。

2. 解き方の手順

(1)(ア)

まず、$2^{\frac{4}{3}} \times 2^{-1} = 2^{\frac{4}{3} - 1} = 2^{\frac{1}{3}}$を計算する。

次に、$(2^{\frac{1}{3}})^6 = 2^{\frac{1}{3} \times 6} = 2^2 = 4$を計算する。

次に、$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$を計算する。

次に、$(\frac{16}{81})^{-\frac{7}{6}} = ((\frac{2}{3})^4)^{-\frac{7}{6}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{28}{6}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{14}{3}}$を計算する。

次に、$\{((\frac{2}{3})^4)^{-\frac{7}{6}}\}^{\frac{3}{7}} = ((\frac{2}{3})^{-\frac{14}{3}})^{\frac{3}{7}} = (\frac{2}{3})^{-\frac{14}{3} \times \frac{3}{7}} = (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$を計算する。

最後に、$4 \times \frac{9}{4} = 9$を計算する。

(1)(イ)

$(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$を展開すると、これは$a^3 - b^3$の因数分解の逆の形である。

したがって、

$(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3 = x - y$となる。

(2)

$2^{\log_8 27} = 2^{\log_{2^3} 3^3} = 2^{\frac{3}{3}\log_2 3} = 2^{\log_2 3} = 3$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 9

(1) (イ) $x - y$

(2) 3