2つの二次方程式 $x^2 + (m+3)x + 8 = 0$ と $x^2 + 5x + 4m = 0$ が共通の実数解を持つように、定数 $m$ の値を定め、その共通な解を求める。

代数学二次方程式共通解連立方程式
2025/7/7

1. 問題の内容

2つの二次方程式 x2+(m+3)x+8=0x^2 + (m+3)x + 8 = 0x2+5x+4m=0x^2 + 5x + 4m = 0 が共通の実数解を持つように、定数 mm の値を定め、その共通な解を求める。

2. 解き方の手順

共通解を α\alpha とすると、以下の2つの式が成り立つ。
α2+(m+3)α+8=0\alpha^2 + (m+3)\alpha + 8 = 0 (1)
α2+5α+4m=0\alpha^2 + 5\alpha + 4m = 0 (2)
(1) - (2) より、
(m+3)α+8(5α+4m)=0(m+3)\alpha + 8 - (5\alpha + 4m) = 0
(m+35)α+84m=0(m+3-5)\alpha + 8 - 4m = 0
(m2)α=4m8(m-2)\alpha = 4m - 8
(m2)α=4(m2)(m-2)\alpha = 4(m-2) (3)
(i) m2m \neq 2 のとき
α=4(m2)m2=4\alpha = \frac{4(m-2)}{m-2} = 4
α=4\alpha = 4 を (2) に代入すると、
42+5(4)+4m=04^2 + 5(4) + 4m = 0
16+20+4m=016 + 20 + 4m = 0
36+4m=036 + 4m = 0
4m=364m = -36
m=9m = -9
このとき、(1)の式は、x2+(9+3)x+8=0x26x+8=0(x2)(x4)=0x^2 + (-9+3)x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) = 0 となり、x=2,4x=2, 4
(2)の式は、x2+5x+4(9)=0x2+5x36=0(x+9)(x4)=0x^2 + 5x + 4(-9) = 0 \Rightarrow x^2 + 5x - 36 = 0 \Rightarrow (x+9)(x-4) = 0 となり、x=9,4x=-9, 4
よって、共通解は x=4x = 4 である。
(ii) m=2m = 2 のとき
(1) は x2+(2+3)x+8=0x2+5x+8=0x^2 + (2+3)x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 8 = 0
(2) は x2+5x+4(2)=0x2+5x+8=0x^2 + 5x + 4(2) = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 8 = 0
判別式 D=524(1)(8)=2532=7<0D = 5^2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = -7 < 0 より、実数解を持たない。
したがって、m=2m=2 は不適である。

3. 最終的な答え

m=9m = -9 で、共通解は 44 である。

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