与えられた3つの対数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_4 8$ (2) $\log_3 6 - \log_3 4$ (3) $\log_2 3 \times \log_3 4$

1. 問題の内容

与えられた3つの対数の式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_4 8$

(2) $\log_3 6 - \log_3 4$

(3) $\log_2 3 \times \log_3 4$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 8$ について

まず、底と真数をそれぞれ2の累乗で表します。

$4 = 2^2$ および $8 = 2^3$ なので、

$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3$

対数の底の変換公式 $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ を用いると、

$\log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2$

$\log_2 2 = 1$ なので、

$\frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$

(2) $\log_3 6 - \log_3 4$ について

対数の差の公式 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を用いると、

$\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 \frac{6}{4} = \log_3 \frac{3}{2}$

(3) $\log_2 3 \times \log_3 4$ について

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3}$。よって、

$\log_2 3 \times \log_3 4 = \log_2 3 \times \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \log_2 4$

$4 = 2^2$ なので、

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\log_3 \frac{3}{2}$

(3) $2$