$a + b + c = 0$ のとき、等式 $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ を証明する。

## 問題2の解答

1. 問題の内容

$a + b + c = 0$ のとき、等式 $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $a+b+c=0$ から、$c = -a - b$ である。

これを証明すべき等式の左辺に代入すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(b+(-a-b))((-a-b)+a)$

$= (a+b)(b-a-b)(-a-b+a) = (a+b)(-a)(-b) = ab(a+b)$

また、$a+b = -c$ より、$ab(a+b) = ab(-c) = -abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$

右辺は$-abc$であるから、

$(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$

3. 最終的な答え

与えられた条件から、$c = -a-b$。

左辺は$(a+b)(b+(-a-b))((-a-b)+a) = (a+b)(-a)(-b) = ab(a+b)$。

$a+b = -c$なので、$ab(a+b) = -abc$。

右辺は$-abc$。

よって、(左辺)=(右辺)であるから、

$(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$が成り立つ。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

$a:b = c:d$ のとき、等式 $\frac{a-b}{a+2b} = \frac{c-d}{c+2d}$ を証明する。

2. 解き方の手順

$a:b = c:d$ より、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ （$k$は定数）とおける。

このとき、$a = bk$、$c = dk$ と表せる。

これを証明すべき等式の左辺に代入すると、

$\frac{a-b}{a+2b} = \frac{bk - b}{bk + 2b} = \frac{b(k-1)}{b(k+2)} = \frac{k-1}{k+2}$

次に、右辺に代入すると、

$\frac{c-d}{c+2d} = \frac{dk - d}{dk + 2d} = \frac{d(k-1)}{d(k+2)} = \frac{k-1}{k+2}$

したがって、$\frac{a-b}{a+2b} = \frac{c-d}{c+2d}$

3. 最終的な答え

与えられた条件から、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk$、$c = dk$ と表せる。

左辺は$\frac{a-b}{a+2b} = \frac{bk - b}{bk + 2b} = \frac{k-1}{k+2}$。

右辺は$\frac{c-d}{c+2d} = \frac{dk - d}{dk + 2d} = \frac{k-1}{k+2}$。

よって、(左辺)=(右辺)であるから、

$\frac{a-b}{a+2b} = \frac{c-d}{c+2d}$が成り立つ。