2次関数 $y = -x^2 + 2x + m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x + m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = -x^2 + 2x + m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $-x^2 + 2x + m = 0$ の実数解の個数に等しくなります。

2次方程式 $-x^2 + 2x + m = 0$ を変形すると、

$x^2 - 2x - m = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2)^2 - 4(1)(-m) = 4 + 4m = 4(1+m)$

$D > 0$ のとき、共有点は2個

$D = 0$ のとき、共有点は1個

$D < 0$ のとき、共有点は0個

したがって、

$4(1+m) > 0$ すなわち $m > -1$ のとき、共有点は2個

$4(1+m) = 0$ すなわち $m = -1$ のとき、共有点は1個

$4(1+m) < 0$ すなわち $m < -1$ のとき、共有点は0個

3. 最終的な答え

$m > -1$ のとき、共有点は2個

$m = -1$ のとき、共有点は1個

$m < -1$ のとき、共有点は0個