2次関数 $y = -x^2 + 4x + m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを答える問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = -x^2 + 4x + m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、2次方程式 $-x^2 + 4x + m = 0$ の実数解の個数に等しいです。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(m) = 16 + 4m$ となります。

共有点の個数は、以下のようになります。

* $D > 0$ のとき、共有点は2個

* $D = 0$ のとき、共有点は1個

* $D < 0$ のとき、共有点は0個

したがって、

* $16 + 4m > 0$ つまり $m > -4$ のとき、共有点は2個

* $16 + 4m = 0$ つまり $m = -4$ のとき、共有点は1個

* $16 + 4m < 0$ つまり $m < -4$ のとき、共有点は0個

3. 最終的な答え

* $m > -4$ のとき、共有点は2個

* $m = -4$ のとき、共有点は1個

* $m < -4$ のとき、共有点は0個