与えられた3つの2次方程式 (1) $x^2 + 3x - 5 = 0$ (2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$ (3) $3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 0$ について、それぞれ実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた3つの2次方程式

(1) $x^2 + 3x - 5 = 0$

(2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$

(3) $3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 0$

について、それぞれ実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数は判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まる。

- $D > 0$ ならば、実数解は2個

- $D = 0$ ならば、実数解は1個

- $D < 0$ ならば、実数解は0個

(1) $x^2 + 3x - 5 = 0$

$a=1$, $b=3$, $c=-5$ であるから、判別式 $D_1$ は

$D_1 = 3^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29 > 0$

よって、実数解は2個。

(2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$

$a=3$, $b=-5$, $c=4$ であるから、判別式 $D_2$ は

$D_2 = (-5)^2 - 4(3)(4) = 25 - 48 = -23 < 0$

よって、実数解は0個。

(3) $3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 0$

$a=3$, $b=2\sqrt{3}$, $c=1$ であるから、判別式 $D_3$ は

$D_3 = (2\sqrt{3})^2 - 4(3)(1) = 4(3) - 12 = 12 - 12 = 0$

よって、実数解は1個。

3. 最終的な答え

(1) 2個

(2) 0個

(3) 1個