与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について求めます。 (1) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ (2) $a_1 = 0, a_2 = 1, a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について求めます。

(1) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$

(2) $a_1 = 0, a_2 = 1, a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$

2. 解き方の手順

(1) の場合:

特性方程式を立てます。特性方程式は $x^2 + 3x - 4 = 0$ となります。

この特性方程式を解くと、$(x+4)(x-1) = 0$ より、$x = -4, 1$ となります。

したがって、一般項は $a_n = A(-4)^n + B(1)^n = A(-4)^n + B$ と表されます。

初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 2$ を代入して、A と B を求めます。

$a_1 = -4A + B = 1$

$a_2 = 16A + B = 2$

この連立方程式を解くと、

$20A = 1$ より $A = \frac{1}{20}$

$B = 1 + 4A = 1 + \frac{4}{20} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$

したがって、$a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$ となります。

(2) の場合:

特性方程式を立てます。特性方程式は $x^2 + 5x + 6 = 0$ となります。

この特性方程式を解くと、$(x+2)(x+3) = 0$ より、$x = -2, -3$ となります。

したがって、一般項は $a_n = A(-2)^n + B(-3)^n$ と表されます。

初期条件 $a_1 = 0, a_2 = 1$ を代入して、A と B を求めます。

$a_1 = -2A - 3B = 0$

$a_2 = 4A + 9B = 1$

この連立方程式を解くと、

$-4A - 6B = 0$

$4A + 9B = 1$

$3B = 1$ より $B = \frac{1}{3}$

$-2A - 3(\frac{1}{3}) = 0$ より $-2A - 1 = 0$

$A = -\frac{1}{2}$

したがって、$a_n = -\frac{1}{2}(-2)^n + \frac{1}{3}(-3)^n$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$

(2) $a_n = -\frac{1}{2}(-2)^n + \frac{1}{3}(-3)^n$