問題203の(1)と(2)について、次の方程式の異なる実数解の個数を求めます。 (1) $x^4 + 6x^2 - 5 = 0$ (2) $x + \cos x = 0$

1. 問題の内容

問題203の(1)と(2)について、次の方程式の異なる実数解の個数を求めます。

(1) $x^4 + 6x^2 - 5 = 0$

(2) $x + \cos x = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 6x^2 - 5 = 0$ の場合

$y = x^2$ と置くと、$y \ge 0$ であり、与えられた方程式は次のようになります。

$y^2 + 6y - 5 = 0$

この2次方程式を解くと、

$y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$

$y = x^2 \ge 0$ であるため、$y = -3 + \sqrt{14}$ のみが適切です。

したがって、$x^2 = -3 + \sqrt{14}$

$x = \pm \sqrt{-3 + \sqrt{14}}$

$-3+\sqrt{14} > 0$であるため, 実数解は2個です。

(2) $x + \cos x = 0$ の場合

$f(x) = x + \cos x$ とおくと、この方程式の実数解は関数 $f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標に対応します。

$f'(x) = 1 - \sin x$

すべての $x$ に対して $f'(x) \ge 0$ であり、$f'(x) = 0$ となるのは $\sin x = 1$、つまり $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数) のときだけです。

したがって、$f(x)$ は単調増加関数です。

$f(0) = 0 + \cos 0 = 1 > 0$

$f(-\pi/2) = -\pi/2 + \cos(-\pi/2) = -\pi/2 + 0 = -\pi/2 < 0$

したがって、$x = 0$ では正であり、$x = -\pi/2$ では負であるため、中間値の定理により、$-\pi/2 < x < 0$ の範囲に少なくとも1つの解が存在します。

また、$f(x)$ は単調増加関数なので、解は1つだけです。

3. 最終的な答え

(1) 2個

(2) 1個