放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの連立方程式が重解を持つということです。 まず、連立方程式を作り、それを解くことから始めます。

$y = x^2 - 3x$

$y = x + k$

これらを連立して、$y$ を消去すると、

$x^2 - 3x = x + k$

$x^2 - 4x - k = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が0となることです。

$D = (-4)^2 - 4(1)(-k) = 16 + 4k$

$D = 0$ より、

$16 + 4k = 0$

$4k = -16$

$k = -4$

次に、接点の $x$ 座標を求めます。 $x^2 - 4x - k = 0$ に $k = -4$ を代入すると、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

接点の $x$ 座標は $x = 2$ です。 接点の $y$ 座標は、$y = x + k$ に $x = 2$ と $k = -4$ を代入して求めます。

$y = 2 + (-4) = -2$

よって、接点の座標は $(2, -2)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -4$

接点の座標は $(2, -2)$