与えられた3つの数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ (2) $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ なので、$\sqrt{6} - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6 - 3} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(2) 分母が $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ なので、$\sqrt{5} + \sqrt{2}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(3) 分母が $\sqrt{3} - 1$ なので、$\sqrt{3} + 1$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

(2) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(3) $2 + \sqrt{3}$