$(x + y - z)^7$ の展開式における $x^3yz^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x + y - z)^7$ の展開式における $x^3yz^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を用います。$(x + y - z)^7 = (x + y + (-z))^7$ と考えます。

多項定理より、$(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}$ の項の係数は、

$\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}$ (ただし、$k_1 + k_2 + \dots + k_m = n$)

で与えられます。

今回の問題では、$(x + y + (-z))^7$ の展開式における $x^3y^1(-z)^3$ の項の係数を求めます。

$n=7$, $k_1=3$, $k_2=1$, $k_3=3$ なので、$k_1+k_2+k_3 = 3 + 1 + 3 = 7 = n$ を満たします。

したがって、$x^3y^1(-z)^3$ の項の係数は、

$\frac{7!}{3!1!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1 \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{6} = 7 \times 5 \times 4 = 140$

となります。

ただし、$-z$ が3回かけられているため、符号はマイナスになります。

したがって、$x^3yz^3$ の項の係数は $-140$ となります。

3. 最終的な答え

-140