$\sqrt{20-2a}$ の値が自然数となるような、自然数 $a$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{20-2a}$ の値が自然数となるような、自然数 $a$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{20-2a}$ が自然数となるためには、まず $20-2a$ が0以上の整数でなければなりません。

なぜなら、平方根の中身は負の数になってはいけないからです。

また、$\sqrt{20-2a}$ の値は自然数なので、$20-2a$ は平方数（ある自然数の2乗）である必要があります。

つまり、$20-2a = n^2$（$n$ は自然数または0）とおけることになります。

$20-2a$ が0以上の整数なので、$n^2$ は0以上の整数であり、したがって $n$ は0以上の整数です。

$20-2a \ge 0$ より、$2a \le 20$ となり、$a \le 10$ が得られます。$a$ は自然数なので、$1 \le a \le 10$ です。

$20-2a = n^2$ を変形すると、$2a = 20 - n^2$ となります。

さらに $a = 10 - \frac{n^2}{2}$ となります。

$a$ は自然数なので、$10 - \frac{n^2}{2}$ も自然数である必要があります。

$n$ は整数なので、$n^2$ は整数です。したがって、$\frac{n^2}{2}$ は整数でなければなりません。

つまり、$n^2$ は偶数でなければなりません。$n^2$ が偶数であるためには、$n$ 自身が偶数である必要があります。

そこで、$n=0, 2, 4$ の場合について考えます。($n$ は0以上の偶数なので。)

* $n=0$ のとき、$a = 10 - \frac{0^2}{2} = 10 - 0 = 10$

* $n=2$ のとき、$a = 10 - \frac{2^2}{2} = 10 - \frac{4}{2} = 10 - 2 = 8$

* $n=4$ のとき、$a = 10 - \frac{4^2}{2} = 10 - \frac{16}{2} = 10 - 8 = 2$

$n$ が6以上の偶数のとき、$a$ は負の数になり、$a$ が自然数であることに反します。

$n=6$のとき、$a = 10 - \frac{36}{2} = 10 - 18 = -8$となります。

したがって、条件を満たす $a$ の値は $2, 8, 10$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2, 8, 10$