与えられた式 $x^2 - 8x + 16y^2$ を因数分解すること。及び、与えられた式 $25a^2 - 9$ を因数分解すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 8x + 16y^2$ を因数分解すること。及び、与えられた式 $25a^2 - 9$ を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 8x + 16y^2$ の因数分解

この式は完全平方の形に変形できる可能性があります。

$x^2$ の項と $-8x$ の項に着目すると、$(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ という関係があります。

しかし、与えられた式には $16y^2$ の項があります。

そのため、この式は $(x-4y)^2$ という形にはなりません。

$16y^2$ という項は $(4y)^2$ と見ることができます。

したがって、この式は $x^2 - 8x + 16 + 16y^2 - 16 = (x-4)^2 + 16y^2 - 16$ と変形できますが、これ以上簡単な形にはなりません。

与えられた式は、$x^2 - 8x + 16y^2 = x^2 - 8x + 16 + 16y^2 - 16 = (x^2 - 8x + 16) + 16y^2 = (x-4)^2 + 16y^2 - 16$ と変形できます。

ただし、$(x-4)^2$ の形ではありません。

与えられた式は因数分解できません。

(2) $25a^2 - 9$ の因数分解

この式は、二乗の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

$25a^2 = (5a)^2$ であり、$9 = 3^2$ であるため、$A = 5a$、$B = 3$ となります。

したがって、$25a^2 - 9 = (5a)^2 - 3^2 = (5a+3)(5a-3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 8x + 16y^2$ は因数分解できません。

(2) $25a^2 - 9 = (5a+3)(5a-3)$