与えられた式 $x^2 - 8x + 16y^2$ を因数分解すること。及び、与えられた式 $25a^2 - 9$ を因数分解すること。

代数学因数分解多項式
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられた式 x28x+16y2x^2 - 8x + 16y^2 を因数分解すること。及び、与えられた式 25a2925a^2 - 9 を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(1) x28x+16y2x^2 - 8x + 16y^2 の因数分解
この式は完全平方の形に変形できる可能性があります。
x2x^2 の項と 8x-8x の項に着目すると、(x4)2=x28x+16(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 という関係があります。
しかし、与えられた式には 16y216y^2 の項があります。
そのため、この式は (x4y)2(x-4y)^2 という形にはなりません。
16y216y^2 という項は (4y)2(4y)^2 と見ることができます。
したがって、この式は x28x+16+16y216=(x4)2+16y216x^2 - 8x + 16 + 16y^2 - 16 = (x-4)^2 + 16y^2 - 16 と変形できますが、これ以上簡単な形にはなりません。
与えられた式は、x28x+16y2=x28x+16+16y216=(x28x+16)+16y2=(x4)2+16y216x^2 - 8x + 16y^2 = x^2 - 8x + 16 + 16y^2 - 16 = (x^2 - 8x + 16) + 16y^2 = (x-4)^2 + 16y^2 - 16 と変形できます。
ただし、(x4)2(x-4)^2 の形ではありません。
与えられた式は因数分解できません。
(2) 25a2925a^2 - 9 の因数分解
この式は、二乗の差の形 A2B2=(A+B)(AB)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) を利用して因数分解できます。
25a2=(5a)225a^2 = (5a)^2 であり、9=329 = 3^2 であるため、A=5aA = 5aB=3B = 3 となります。
したがって、25a29=(5a)232=(5a+3)(5a3)25a^2 - 9 = (5a)^2 - 3^2 = (5a+3)(5a-3) と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) x28x+16y2x^2 - 8x + 16y^2 は因数分解できません。
(2) 25a29=(5a+3)(5a3)25a^2 - 9 = (5a+3)(5a-3)

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