与えられた連立一次方程式の解を求め、解をパラメータ $c$ を用いたベクトル形式で表す。 連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 2x + 3y + 4z = 0 \\ x + 2y + 3z = 0 \\ x + 3y + 4z = 0 \end{cases} $ 解は、ある定数 $c$ を用いて、 $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} ア \\ イ \\ ウ \end{bmatrix} $ の形で表される。ア、イ、ウに入る数を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求め、解をパラメータ $c$ を用いたベクトル形式で表す。

連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

2x + 3y + 4z = 0 \\

x + 2y + 3z = 0 \\

x + 3y + 4z = 0

\end{cases}

$$

解は、ある定数 $c$ を用いて、

$$

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

= c

\begin{bmatrix}

ア \\ イ \\ ウ

\end{bmatrix}

$$

の形で表される。ア、イ、ウに入る数を求める。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解きます。

第1式から第2式の2倍を引きます。

$$

(2x + 3y + 4z) - 2(x + 2y + 3z) = 0 - 0

$$

$$

2x + 3y + 4z - 2x - 4y - 6z = 0

$$

$$

-y - 2z = 0

$$

$$

y = -2z

$$

第2式から第3式を引きます。

$$

(x + 2y + 3z) - (x + 3y + 4z) = 0 - 0

$$

$$

x + 2y + 3z - x - 3y - 4z = 0

$$

$$

-y - z = 0

$$

$$

y = -z

$$

$y = -2z$ かつ $y = -z$ より $-2z = -z$ となります。

したがって、$z = 0$ です。

$y = -z = 0$ より $y = 0$ です。

第2式に代入すると、$x + 2(0) + 3(0) = 0$ より $x = 0$ です。

しかし、これでは自明な解 $x=y=z=0$ しか得られません。

よく見ると、3つの方程式は独立ではありません。3番目の式から2番目の式を引くと $y+z = 0$となり、1番目の式から3番目の式を引くと $x = 0$となるため、$2x+3y+4z=0$に代入すると、$3y+4z=0$となります。また、$y=-z$より、$3(-z)+4z = z=0$となるため、やはり自明な解しか得られません。

そこで、行列表示して階数を調べてみます。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 3 & 4 \\

1 & 2 & 3 \\

1 & 3 & 4

\end{bmatrix}

$$

行基本変形を施します。

2行目から3行目を引くと、

$$

\begin{bmatrix}

2 & 3 & 4 \\

0 & -1 & -1 \\

1 & 3 & 4

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目の2倍を引くと、

$$

\begin{bmatrix}

0 & -3 & -4 \\

0 & -1 & -1 \\

1 & 3 & 4

\end{bmatrix}

$$

2行目と3行目を入れ替えると、

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 \\

0 & -1 & -1 \\

0 & -3 & -4

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目の3倍を引くと、

$$

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 4 \\

0 & -1 & -1 \\

0 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

よって、rank = 3であるため、解は $x = y = z = 0$のみです。

問題文に解が存在することを前提としているため、問題に誤りがあると考えられます。

もし、3番目の式が$x+3y+5z = 0$であれば、解を持つ可能性があります。

$$

\begin{cases}

2x + 3y + 4z = 0 \\

x + 2y + 3z = 0 \\

x + 3y + 5z = 0

\end{cases}

$$

第2式から第3式を引くと

$-y - 2z = 0$

$y = -2z$

第1式から第2式の2倍を引くと

$-y - 2z = 0$

$y = -2z$

第2式に$y = -2z$を代入すると

$x - 4z + 3z = 0$

$x = z$

よって、

$$

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

z \\ -2z \\ z

\end{bmatrix}

= z

\begin{bmatrix}

1 \\ -2 \\ 1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

問題に誤りがあるため、正しい解を導出できません。仮に3番目の式が$x+3y+5z=0$であるならば、

ア：1

イ：-2

ウ：1

となります。