(1) 関数 $y = 2^{x+3} - 4^x$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{3} \leq x \leq 81$ のとき、$\log_3 x$ の範囲を求める。また、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^3$ $(\frac{1}{3} \leq x \leq 81)$ の最大値と最小値を求める。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2^{x+3} - 4^x$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{3} \leq x \leq 81$ のとき、$\log_3 x$ の範囲を求める。また、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^3$ $(\frac{1}{3} \leq x \leq 81)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 2^{x+3} - 4^x = 8 \cdot 2^x - (2^x)^2$

$2^x = t$ とおくと、$y = 8t - t^2 = -(t^2 - 8t) = -(t^2 - 8t + 16) + 16 = -(t-4)^2 + 16$

$t = 4$ のとき、最大値 $16$ をとる。

$2^x = 4$ より、$x = 2$

(2)

$\frac{1}{3} \leq x \leq 81$ のとき、

$\log_3 (\frac{1}{3}) \leq \log_3 x \leq \log_3 81$

$-1 \leq \log_3 x \leq 4$

$y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^3 = (\log_3 x)^2 - 3 \log_3 x$

$\log_3 x = u$ とおくと、$-1 \leq u \leq 4$

$y = u^2 - 3u = (u^2 - 3u + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = (u - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$u = \frac{3}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{9}{4}$ をとる。

$u = -1$ のとき、最大値 $(-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$ をとる。

3. 最終的な答え

(1)

ア：$2$

イウ：$16$

(2)

エオ：$-1$

カ：$4$

キ：$4$

クケ：$-9$

コ：$4$