与えられた数列の和を$\Sigma$を用いて表す問題です。 (1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \sum_{k=1}^{\fbox{2}} \fbox{1}$ (2) $2 + 5 + 8 + \dots + 32 = \sum_{k=1}^{\fbox{4}} \fbox{3}$ それぞれ$\fbox{1}$から$\fbox{4}$に入る適切な数式を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を$\Sigma$を用いて表す問題です。

(1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \sum_{k=1}^{\fbox{2}} \fbox{1}$

(2) $2 + 5 + 8 + \dots + 32 = \sum_{k=1}^{\fbox{4}} \fbox{3}$

それぞれ$\fbox{1}$から$\fbox{4}$に入る適切な数式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

数列は$k^3$の形をしているので、$\fbox{1}$は$k^3$となります。和は$n^3$までなので、$\fbox{2}$は$n$となります。

(2)

数列は等差数列です。初項は2、公差は3です。したがって、一般項は

$a_k = 2 + (k-1)3 = 3k - 1$

よって、$\fbox{3}$は$3k-1$となります。

次に、32が第何項か調べます。

$32 = 3k - 1$

$33 = 3k$

$k = 11$

よって、$\fbox{4}$は11となります。

3. 最終的な答え

$\fbox{1}$: $k^3$

$\fbox{2}$: $n$

$\fbox{3}$: $3k-1$

$\fbox{4}$: $11$