$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{2}$ を満たす $\sin\theta \cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{2}$ を満たす $\sin\theta \cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形します。

$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{2}$

両辺に $2\sin\theta\cos\theta$ をかけると、

$2\cos\theta + 2\sin\theta = \sin\theta\cos\theta$

$x = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと、

$x^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

よって、$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2}$

与えられた式は、

$2(\sin\theta + \cos\theta) = \sin\theta\cos\theta$

$2x = \frac{x^2 - 1}{2}$

$4x = x^2 - 1$

$x^2 - 4x - 1 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、 $\sin\theta \geq 0$ であり、

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + 45^\circ)$

$-\sqrt{2} \leq \cos\theta + \sin\theta \leq \sqrt{2}$ より $x=\cos \theta + \sin \theta = 2 - \sqrt{5}$をとります。

なぜなら、$2 + \sqrt{5} > \sqrt{2}$ であり、 $x= \cos \theta + \sin \theta \leq \sqrt{2}$ と矛盾するためです。

$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2} = \frac{(2-\sqrt{5})^2 - 1}{2} = \frac{4 - 4\sqrt{5} + 5 - 1}{2} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{2} = 4 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$4 - 2\sqrt{5}$