$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\cos{\alpha} = -\frac{4}{5}$ である。 このとき、$\sin{\frac{\alpha}{2}}$, $\cos{\frac{\alpha}{2}}$, $\tan{\frac{\alpha}{2}}$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\cos{\alpha} = -\frac{4}{5}$ である。

このとき、$\sin{\frac{\alpha}{2}}$, $\cos{\frac{\alpha}{2}}$, $\tan{\frac{\alpha}{2}}$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ となる。

したがって、$\sin{\frac{\alpha}{2}} > 0$, $\cos{\frac{\alpha}{2}} > 0$, $\tan{\frac{\alpha}{2}} > 0$ である。

半角の公式を用いる。

$\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos{\alpha}}{2}$, $\cos^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos{\alpha}}{2}$

$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin{\alpha}}{1 + \cos{\alpha}} = \frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

(1) $\sin{\frac{\alpha}{2}}$ を求める。

$\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$

$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos{\frac{\alpha}{2}}$ を求める。

$\cos^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$

$\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\tan{\frac{\alpha}{2}}$ を求める。

$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\tan{\frac{\alpha}{2}} = 3$