与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 3x + 7y + 5z = 0 \\ x + y - z = 0 \\ x + 3y + 3z = 0 \end{cases} $ を掃き出し法を用いて解き、不定解を持つ場合は $z = c$ とおいたときの解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$$

\begin{cases}

3x + 7y + 5z = 0 \\

x + y - z = 0 \\

x + 3y + 3z = 0

\end{cases}

$$

を掃き出し法を用いて解き、不定解を持つ場合は $z = c$ とおいたときの解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 7 & 5 & 0 \\

1 & 1 & -1 & 0 \\

1 & 3 & 3 & 0

\end{bmatrix}

$$

次に、この行列を簡約化します。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

3 & 7 & 5 & 0 \\

1 & 3 & 3 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の3倍を引きます。

3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 4 & 8 & 0 \\

0 & 2 & 4 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目を4で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 4 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -3 & 0 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

簡約化された行列から、以下の連立方程式が得られます。

$$

\begin{cases}

x - 3z = 0 \\

y + 2z = 0

\end{cases}

$$

$z = c$ とおくと、

$x = 3c$

$y = -2c$

したがって、解は

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z

\end{bmatrix}

=

c

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: -2

ウ: 1