$a, b$を実数とする。$x$についての方程式 $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x - b - 8 = 0$ を考える。 (1) $a = 1$とするとき、方程式の左辺を$b$に着目して整理すると $(4x^2 - 1)b + 16x - 8$ と表せる。この式を因数分解すると $(2x-1)(アbx + b + イ)$ となる。アとイに入る数字を答えよ。

1. 問題の内容

$a, b$を実数とする。$x$についての方程式 $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x - b - 8 = 0$ を考える。

(1) $a = 1$とするとき、方程式の左辺を$b$に着目して整理すると $(4x^2 - 1)b + 16x - 8$ と表せる。この式を因数分解すると $(2x-1)(アbx + b + イ)$ となる。アとイに入る数字を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$a=1$を元の方程式に代入すると

$(2 + 4b - 2)x^2 + (5 + 11)x - b - 8 = 0$

$4bx^2 + 16x - b - 8 = 0$

これは、問題文にあるように、

$(4x^2 - 1)b + 16x - 8 = 0$

と書き換えられる。これを因数分解して、$(2x-1)$の形が現れるようにする。

$(4x^2 - 1)b + 16x - 8 = (2x-1)(2x+1)b + 8(2x - 1) = (2x-1)((2x+1)b + 8)$

したがって、アは2、イは8となる。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：8