問題は、以下の2次方程式を解くことです。 (1) $x^2 - x - 4 = 0$ (2) $x^2 + 3x - 9 = 0$ (3) $x^2 - 8x + 9 = 0$ (4) $5x^2 - 7x + 2 = 0$ (5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$ (6) $3x^2 - 6x + 2 = 0$ (7) $x^2 = 6x - 6$ (8) $5x^2 + 4x = 1$ (9) $3x^2 - 2x = x + 1$

1. 問題の内容

問題は、以下の2次方程式を解くことです。

(1) $x^2 - x - 4 = 0$

(2) $x^2 + 3x - 9 = 0$

(3) $x^2 - 8x + 9 = 0$

(4) $5x^2 - 7x + 2 = 0$

(5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$

(6) $3x^2 - 6x + 2 = 0$

(7) $x^2 = 6x - 6$

(8) $5x^2 + 4x = 1$

(9) $3x^2 - 2x = x + 1$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

を用いて求めることができます。

(1) $x^2 - x - 4 = 0$

$a = 1, b = -1, c = -4$ より、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(2) $x^2 + 3x - 9 = 0$

$a = 1, b = 3, c = -9$ より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

(3) $x^2 - 8x + 9 = 0$

$a = 1, b = -8, c = 9$ より、

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$

(4) $5x^2 - 7x + 2 = 0$

$a = 5, b = -7, c = 2$ より、

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(5)(2)}}{2(5)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{10} = \frac{7 \pm 3}{10}$

$x = \frac{7+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ または $x = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

(5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$

$a = 3, b = -2, c = -2$ より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

(6) $3x^2 - 6x + 2 = 0$

$a = 3, b = -6, c = 2$ より、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

(7) $x^2 = 6x - 6$ より $x^2 - 6x + 6 = 0$

$a = 1, b = -6, c = 6$ より、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

(8) $5x^2 + 4x = 1$ より $5x^2 + 4x - 1 = 0$

$a = 5, b = 4, c = -1$ より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(5)(-1)}}{2(5)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{-4 \pm 6}{10}$

$x = \frac{-4+6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ または $x = \frac{-4-6}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

(9) $3x^2 - 2x = x + 1$ より $3x^2 - 3x - 1 = 0$

$a = 3, b = -3, c = -1$ より、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(2) $x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

(3) $x = 4 \pm \sqrt{7}$

(4) $x = 1, \frac{2}{5}$

(5) $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

(6) $x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

(7) $x = 3 \pm \sqrt{3}$

(8) $x = \frac{1}{5}, -1$

(9) $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$