ベクトル $\vec{a} = (3, 2)$、$\vec{b} = (-1, 2)$、$\vec{c} = (4, 1)$ が与えられているとき、以下の問題を解きます。 (1) $\vec{a} = m\vec{b} + n\vec{c}$ となる実数 $m, n$ を求めます。 (2) $(\vec{a} + k\vec{c}) // (2\vec{b} - \vec{a})$ となる実数 $k$ を求めます。ただし、$//$ は平行を表します。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 2)$、$\vec{b} = (-1, 2)$、$\vec{c} = (4, 1)$ が与えられているとき、以下の問題を解きます。

(1) $\vec{a} = m\vec{b} + n\vec{c}$ となる実数 $m, n$ を求めます。

(2) $(\vec{a} + k\vec{c}) // (2\vec{b} - \vec{a})$ となる実数 $k$ を求めます。ただし、$//$ は平行を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} = m\vec{b} + n\vec{c}$ を成分で表すと、

$$(3, 2) = m(-1, 2) + n(4, 1)$$

$$(3, 2) = (-m + 4n, 2m + n)$$

これは次の連立方程式と同値です。

$$\begin{cases} -m + 4n = 3 \\ 2m + n = 2 \end{cases}$$

第1式を2倍して、第2式と足し合わせると、

$$(-2m + 8n) + (2m + n) = 6 + 2$$

$$9n = 8$$

$$n = \frac{8}{9}$$

これを第2式に代入すると、

$$2m + \frac{8}{9} = 2$$

$$2m = 2 - \frac{8}{9} = \frac{18 - 8}{9} = \frac{10}{9}$$

$$m = \frac{5}{9}$$

したがって、$m = \frac{5}{9}, n = \frac{8}{9}$。

(2) $\vec{a} + k\vec{c} = (3, 2) + k(4, 1) = (3 + 4k, 2 + k)$

$2\vec{b} - \vec{a} = 2(-1, 2) - (3, 2) = (-2, 4) - (3, 2) = (-5, 2)$

$(\vec{a} + k\vec{c}) // (2\vec{b} - \vec{a})$ より、ある実数 $t$ が存在して、

$$\vec{a} + k\vec{c} = t(2\vec{b} - \vec{a})$$

$$(3 + 4k, 2 + k) = t(-5, 2) = (-5t, 2t)$$

これは次の連立方程式と同値です。

$$\begin{cases} 3 + 4k = -5t \\ 2 + k = 2t \end{cases}$$

第2式から $t = \frac{2 + k}{2}$ を得て、これを第1式に代入すると、

$$3 + 4k = -5 \left( \frac{2 + k}{2} \right)$$

$$6 + 8k = -10 - 5k$$

$$13k = -16$$

$$k = -\frac{16}{13}$$

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{5}{9}, n = \frac{8}{9}$

(2) $k = -\frac{16}{13}$