ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$, $\vec{b} = (1, 1)$ と実数 $t$ に対して、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$|\vec{c}|$ の最小値を求める。空欄ア～サに当てはまる数字を答えよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$, $\vec{b} = (1, 1)$ と実数 $t$ に対して、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$|\vec{c}|$ の最小値を求める。空欄ア～サに当てはまる数字を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ を成分表示する。

$\vec{a} + t\vec{b} = (2, -4) + t(1, 1) = (2+t, -4+t)$

よって、

$\vec{c} = (t+2, t-4)$ となるので、アには2、イには4が入る。

次に、$|\vec{c}|^2$ を $t$ の式で表す。

$|\vec{c}|^2 = (t+2)^2 + (t-4)^2 = t^2 + 4t + 4 + t^2 - 8t + 16 = 2t^2 - 4t + 20$

よって、$|\vec{c}|^2 = 2t^2 - 4t + 20$ となるので、ウには2、エには4、オカには20が入る。

$|\vec{c}|^2 = 2t^2 - 4t + 20 = 2(t^2 - 2t) + 20 = 2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 20 = 2((t-1)^2 - 1) + 20 = 2(t-1)^2 - 2 + 20 = 2(t-1)^2 + 18$

$|\vec{c}|^2$ は $t=1$ のとき最小値18をとる。

よって、キには1、クケには18が入る。

$|\vec{c}|^2$ が最小値18をとるとき、$|\vec{c}|$ は最小値 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ をとる。

よって、コには3、サには2が入る。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 2

エ: 4

オカ: 20

キ: 1

クケ: 18

コ: 3

サ: 2