ベクトル $\vec{a} = (-2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -3)$ が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表す。 (1) $\vec{a} + \vec{b}$ (2) $3\vec{a} - 2\vec{b}$ (3) $3(2\vec{a} - \vec{b}) - 4(\vec{a} - \vec{b})$

代数学ベクトルベクトルの演算ベクトルの加減算ベクトルのスカラー倍
2025/7/7

1. 問題の内容

ベクトル a=(2,1)\vec{a} = (-2, 1)b=(2,3)\vec{b} = (2, -3) が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表す。
(1) a+b\vec{a} + \vec{b}
(2) 3a2b3\vec{a} - 2\vec{b}
(3) 3(2ab)4(ab)3(2\vec{a} - \vec{b}) - 4(\vec{a} - \vec{b})

2. 解き方の手順

(1) a+b\vec{a} + \vec{b} を計算する。ベクトルの足し算は各成分を足し合わせる。
a+b=(2+2,1+(3))\vec{a} + \vec{b} = (-2 + 2, 1 + (-3))
(2) 3a2b3\vec{a} - 2\vec{b} を計算する。ベクトルをスカラー倍した後に足し算を行う。
3a=3(2,1)=(6,3)3\vec{a} = 3(-2, 1) = (-6, 3)
2b=2(2,3)=(4,6)2\vec{b} = 2(2, -3) = (4, -6)
3a2b=(64,3(6))3\vec{a} - 2\vec{b} = (-6 - 4, 3 - (-6))
(3) 3(2ab)4(ab)3(2\vec{a} - \vec{b}) - 4(\vec{a} - \vec{b}) を計算する。
2a=2(2,1)=(4,2)2\vec{a} = 2(-2, 1) = (-4, 2)
2ab=(42,2(3))=(6,5)2\vec{a} - \vec{b} = (-4 - 2, 2 - (-3)) = (-6, 5)
3(2ab)=3(6,5)=(18,15)3(2\vec{a} - \vec{b}) = 3(-6, 5) = (-18, 15)
ab=(22,1(3))=(4,4)\vec{a} - \vec{b} = (-2 - 2, 1 - (-3)) = (-4, 4)
4(ab)=4(4,4)=(16,16)4(\vec{a} - \vec{b}) = 4(-4, 4) = (-16, 16)
3(2ab)4(ab)=(18(16),1516)3(2\vec{a} - \vec{b}) - 4(\vec{a} - \vec{b}) = (-18 - (-16), 15 - 16)

3. 最終的な答え

(1) a+b=(0,2)\vec{a} + \vec{b} = (0, -2)
(2) 3a2b=(10,9)3\vec{a} - 2\vec{b} = (-10, 9)
(3) 3(2ab)4(ab)=(2,1)3(2\vec{a} - \vec{b}) - 4(\vec{a} - \vec{b}) = (-2, -1)

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