等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 + a_4 = 14$, $a_1 - a_4 = -6$ である。また、数列 $\{b_n\}$ があり、数列 $\{b_n\}$ の階差数列は $\{a_n\}$ であり、$b_1 = 2$ である。 (1) $a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) $b_n$ を $n$ を用いて表す。 (3) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表す。また、$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{S_k}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。不等式 $T_n \geq \frac{6}{5}$ を満たす最小の $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 + a_4 = 14$, $a_1 - a_4 = -6$ である。また、数列 $\{b_n\}$ があり、数列 $\{b_n\}$ の階差数列は $\{a_n\}$ であり、$b_1 = 2$ である。

(1) $a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) $b_n$ を $n$ を用いて表す。

(3) 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表す。また、$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{S_k}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。不等式 $T_n \geq \frac{6}{5}$ を満たす最小の $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 + a_4 = 14$ と $a_1 - a_4 = -6$ より、連立方程式を解く。

$a_1 + a_4 = 14$

$a_1 - a_4 = -6$

2 式を足すと、$2a_1 = 8$ より $a_1 = 4$。

$a_4 = a_1 + 3d$ なので、$4 + 3d = 10$ より $3d = 6$, よって $d = 2$。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.

(2) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $\{a_n\}$ なので、$b_{n+1} - b_n = a_n = 2n + 2$ である。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 2 + 2\frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 2 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n$.

これは $n=1$ のとき、$b_1 = 1^2 + 1 = 2$ となり成立する。

したがって、$b_n = n^2 + n$.

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{S_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(k+1)(k+2)} = 3 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})$

$= 3 [ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) ] = 3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}) = 3 (\frac{n+2-2}{2(n+2)}) = \frac{3n}{2(n+2)}$.

$T_n \geq \frac{6}{5}$ より、$\frac{3n}{2(n+2)} \geq \frac{6}{5}$。

$\frac{n}{n+2} \geq \frac{4}{5}$。

$5n \geq 4(n+2)$。

$5n \geq 4n + 8$。

$n \geq 8$.

したがって、最小の $n$ の値は $8$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 2$

(2) $b_n = n^2 + n$

(3) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, $n=8$