(1) 方程式 $\log_2{x} + \log_2{(x-4)} = 5$ の解を求めよ。 (2) 不等式 $\log_{\frac{1}{3}}{(x-2)} + \log_{\frac{1}{3}}{x} \ge -1$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $\log_2{x} + \log_2{(x-4)} = 5$ の解を求めよ。

(2) 不等式 $\log_{\frac{1}{3}}{(x-2)} + \log_{\frac{1}{3}}{x} \ge -1$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、真数条件より $x > 0$ かつ $x-4 > 0$ であるから、$x > 4$。

次に、対数の性質を用いて、

$\log_2{x} + \log_2{(x-4)} = \log_2{x(x-4)}$

である。したがって、与えられた方程式は

$\log_2{x(x-4)} = 5$

と書き換えられる。両辺の指数をとると、

$x(x-4) = 2^5$

$x^2 - 4x = 32$

$x^2 - 4x - 32 = 0$

$(x-8)(x+4) = 0$

$x = 8$ または $x = -4$

真数条件 $x > 4$ より、$x = 8$ が解となる。

(2)

真数条件より $x-2 > 0$ かつ $x > 0$ であるから、$x > 2$。

対数の性質を用いて、

$\log_{\frac{1}{3}}{(x-2)} + \log_{\frac{1}{3}}{x} = \log_{\frac{1}{3}}{x(x-2)}$

である。したがって、与えられた不等式は

$\log_{\frac{1}{3}}{x(x-2)} \ge -1$

と書き換えられる。底が $\frac{1}{3}$ で $0 < \frac{1}{3} < 1$ であるから、指数をとるときに不等号の向きが変わることに注意すると、

$x(x-2) \le (\frac{1}{3})^{-1}$

$x^2 - 2x \le 3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

$(x-3)(x+1) \le 0$

$-1 \le x \le 3$

真数条件 $x > 2$ より、$2 < x \le 3$ が解となる。

したがって、$\alpha = 2$, $\beta = 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $2 < x \le 3$, $\alpha = 2$, $\beta = 3$