$f(0) = 4$, $f'(0) = 3$, $f''(0) = 2$, $f^{(n)}(0) = 0$ ($n \ge 3$) であるとき、多項式 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(0) = 4$, $f'(0) = 3$, $f''(0) = 2$, $f^{(n)}(0) = 0$ ($n \ge 3$) であるとき、多項式 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項式 $f(x)$ の次数が2以下であることに注目します。したがって、$f(x)$ は以下のように表すことができます。

$f(x) = ax^2 + bx + c$

このとき、$f'(x)$ と $f''(x)$ は以下のようになります。

$f'(x) = 2ax + b$

$f''(x) = 2a$

問題文より、$f(0) = 4$, $f'(0) = 3$, $f''(0) = 2$ であるので、それぞれ代入して、

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 4$

$f'(0) = 2a(0) + b = b = 3$

$f''(0) = 2a = 2$

したがって、$a = 1$, $b = 3$, $c = 4$ となります。

よって、求める多項式 $f(x)$ は、

$f(x) = x^2 + 3x + 4$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + 3x + 4$