(1) 多項式 $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $x+1$ で割った余りを求める。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 2a$ を $x-2$ で割った余りが12であるとき、定数 $a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $x+1$ で割った余りを求める。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 2a$ を $x-2$ で割った余りが12であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ に等しい。したがって、

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P(-1) = 3(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1

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P(-1) = -3 + 1 - 1 + 1

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P(-1) = -2

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したがって、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $-2$ である。

(2)

剰余の定理より、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ に等しい。問題文より、$P(2) = 12$ である。したがって、

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P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + 3(2) - 2a = 12

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8 + 4a + 6 - 2a = 12

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14 + 2a = 12

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2a = -2

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a = -1

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したがって、$a$ の値は $-1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-2$

(2) $a = -1$