(1) $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $x + 1$ で割った余りを求める。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 2a$ を $x - 2$ で割った余りが12であるとき、定数 $a$ の値を求める。 (3) 1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、 $\omega^4 + \omega^2 + 1$ の値を求める。 (4) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が 1 と -1 を解にもつとき、 (1) 定数 $a$, $b$ の値を求める。 (2) 他の解を求める。

1. 問題の内容

(1) $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $x + 1$ で割った余りを求める。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 2a$ を $x - 2$ で割った余りが12であるとき、定数 $a$ の値を求める。

(3) 1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、 $\omega^4 + \omega^2 + 1$ の値を求める。

(4) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が 1 と -1 を解にもつとき、

(1) 定数 $a$, $b$ の値を求める。

(2) 他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

剰余の定理より、$P(-1)$ が求める余りである。

$P(-1) = 3(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -3 + 1 - 1 + 1 = -2$

(2)

剰余の定理より、$P(2) = 12$ である。

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + 3(2) - 2a = 8 + 4a + 6 - 2a = 2a + 14$

$2a + 14 = 12$ より、 $2a = -2$, よって $a = -1$

(3)

$\omega$ は1の3乗根の虚数解なので、$\omega^3 = 1$ かつ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ である。

$\omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega^3 \cdot \omega + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$

(4)

(1) $x=1$ と $x=-1$ を与えられた方程式に代入すると、

$1^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0 \Rightarrow 1 - 2 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = 1$

$(-1)^3 - 2(-1)^2 + a(-1) + b = 0 \Rightarrow -1 - 2 - a + b = 0 \Rightarrow -a + b = 3$

2つの式を足し合わせると $2b = 4$, よって $b = 2$.

$a = 1 - b = 1 - 2 = -1$

したがって、$a = -1$, $b = 2$.

(2)

方程式は $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ となる。

$x=1$ と $x=-1$ が解なので、$(x-1)(x+1)$ で割り切れる。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x^2 - 1)(x - 2)$

したがって、$(x-1)(x+1)(x-2) = 0$ となり、他の解は $x = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) $a = -1$

(3) 0

(4)

(1) $a = -1$, $b = 2$

(2) 2