与えられた3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探索します。定数項は8なので、解の候補は±1, ±2, ±4, ±8です。

これらの値を方程式に代入して、解となるものを探します。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 5(-1)^2 + 2(-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0$

したがって、$x = -1$ は解の一つです。

$x = -1$ が解なので、$x+1$ は $x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ の因数です。

多項式の割り算を行って、$x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ を $x+1$ で割ります。

```

x^2 - 6x + 8

x + 1 | x^3 - 5x^2 + 2x + 8

-(x^3 + x^2)

----------------

-6x^2 + 2x

-(-6x^2 - 6x)

----------------

8x + 8

-(8x + 8)

----------------

0

```

したがって、$x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x+1)(x^2 - 6x + 8)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 - 6x + 8 = 0$ を解きます。

これは因数分解できます。

$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x = 4$ が解です。

3. 最終的な答え

与えられた3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 0$ の解は、$x = -1, 2, 4$ です。