(1) 方程式 $\log_2 x + \log_2 (x-4) = 5$ の解 $x$ を求めます。 (2) 不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}} x \geq -1$ の解を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表し、$\alpha$と$\beta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $\log_2 x + \log_2 (x-4) = 5$ の解 $x$ を求めます。

(2) 不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}} x \geq -1$ の解を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表し、$\alpha$と$\beta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\log_2 x + \log_2 (x-4) = 5$ を解きます。

まず、対数の性質から

$\log_2 x + \log_2 (x-4) = \log_2 (x(x-4))$

したがって

$\log_2 (x(x-4)) = 5$

$x(x-4) = 2^5$

$x^2 - 4x = 32$

$x^2 - 4x - 32 = 0$

$(x-8)(x+4) = 0$

$x = 8, -4$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x-4 > 0$、つまり $x > 4$ でなければなりません。したがって、$x = 8$ が解です。

(2) 不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}} x \geq -1$ を解きます。

まず、真数条件より、$x-2 > 0$ かつ $x > 0$、つまり $x > 2$ でなければなりません。

対数の性質から

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}(x(x-2))$

したがって

$\log_{\frac{1}{3}}(x(x-2)) \geq -1$

底が1より小さいので、不等号の向きが変わります。

$x(x-2) \leq (\frac{1}{3})^{-1}$

$x(x-2) \leq 3$

$x^2 - 2x \leq 3$

$x^2 - 2x - 3 \leq 0$

$(x-3)(x+1) \leq 0$

$-1 \leq x \leq 3$

真数条件 $x > 2$ より、$2 < x \leq 3$ が解となります。

したがって、不等式の解は $2 < x \leq 3$ と表すことができます。

$\alpha = 2$, $\beta = 3$ です。

不等式の解は $2 < x \leq 3$ なので選択肢(5) $\alpha < x \leq \beta$ に対応します。

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $\alpha < x \leq \beta$, $\alpha = 2$, $\beta = 3$