方程式 $3 \cdot 9^x = \sqrt{3}$ の解を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

**36 (1)**

1. 問題の内容

方程式 $3 \cdot 9^x = \sqrt{3}$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$3 \cdot 9^x = \sqrt{3}$ を変形する。まず、$9 = 3^2$、$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$3 \cdot (3^2)^x = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{2x+1} = 3^{\frac{1}{2}}$

よって、$2x+1 = \frac{1}{2}$

$2x = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{1}{4}$

**36 (2)**

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{4})^{3-x}$ の解を $x > a$ または $x < a$ の形で表し、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{4})^{3-x}$

$(2^{-1})^x < (2^{-2})^{3-x}$

$2^{-x} < 2^{-2(3-x)}$

$2^{-x} < 2^{-6+2x}$

底が2で1より大きいので、指数の大小関係は不等号の向きを変えずに成り立つ。

$-x < -6 + 2x$

$6 < 3x$

$2 < x$

よって、$x > 2$。したがって、$a = 2$

3. 最終的な答え

$x > 2$、$a = 2$

**37 (1)**

1. 問題の内容

方程式 $\log_2 x + \log_2 (x-4) = 5$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$\log_2 x + \log_2 (x-4) = 5$

$\log_2 (x(x-4)) = 5$

$x(x-4) = 2^5 = 32$

$x^2 - 4x - 32 = 0$

$(x-8)(x+4) = 0$

$x=8, -4$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x-4 > 0$、つまり $x > 4$ である必要がある。

よって、$x = 8$

3. 最終的な答え

$x = 8$

**37 (2)**

1. 問題の内容

不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) - \log_{\frac{1}{3}}x \ge -1$ の解を $\alpha \le x \le \beta$ または $x \le \alpha, \beta \le x$ の形で表し、$α, β$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) - \log_{\frac{1}{3}}x \ge -1$

$\log_{\frac{1}{3}}\frac{x-2}{x} \ge -1$

$\log_{\frac{1}{3}}\frac{x-2}{x} \ge \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-1}$

$\log_{\frac{1}{3}}\frac{x-2}{x} \ge \log_{\frac{1}{3}}3$

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、真数の大小関係は不等号の向きを逆にする。

$\frac{x-2}{x} \le 3$

$1-\frac{2}{x} \le 3$

$-\frac{2}{x} \le 2$

$\frac{1}{x} \ge -1$

$\frac{1+x}{x} \ge 0$

したがって、$x(x+1) \ge 0$　かつ　$x \neq 0$

$x \le -1$ または $x > 0$

真数条件より、$x-2>0$ かつ $x>0$、つまり $x > 2$ である必要がある。

よって、$x > 2$

したがって、解は $x > 2$ と表せるので、このような$\alpha, \beta$の形では表せない。

ただし、問題文より$\alpha,\beta$が存在することを仮定して考える。

$\log_{\frac{1}{3}}\frac{x-2}{x} \ge -1$

$\frac{x-2}{x} \le 3$

$x-2 \le 3x$

$-2 \le 2x$

$-1 \le x$

真数条件より、$x > 2$

よって、与式を満たす$x$は $x>2$

したがって、$α$の値は存在しない

3. 最終的な答え

解なし

**38 (1)**

1. 問題の内容

関数 $y = 2^{5+3} - 4^x$ は $x=$ のとき、最大値 イウ をとる。

2. 解き方の手順

$y = 2^{5+3} - 4^x = 2^8 - (2^2)^x = 2^8 - 2^{2x}$

$y = 256 - 2^{2x}$

$y$ が最大になるのは $2^{2x}$ が最小になるときである。

$x$ の範囲が指定されていないので、$x$ を小さくすれば $2^{2x}$ は小さくなり、$y$ は大きくなる。

ただし、指数関数であるため、$4^x$ は常に正の値をとる。

$x=0$ のとき、$y=256-1 = 255$

$x=1$ のとき、$y=256-4 = 252$

$x$が小さいほど$y$は大きくなるので、最大値は存在しない

この問題は、$2^{5+3-4x}$と読むのが正しい。

$y = 2^{5+3-4x} = 2^{8-4x}$

$y$ が最大になるのは $8-4x$ が最大になるときである。つまり、$x$が最小のとき、$y$は最大になる

$x$ の範囲が指定されていないので、$x$ を小さくすれば $8-4x$ は大きくなり、$y$ は大きくなる。

ただし、この場合も最大値は存在しない

問題文に誤りがある。$y=2^{5+3} - 4^x$ の場合は、範囲がないので最大値が存在しない。

**38 (2)**

1. 問題の内容

$\frac{1}{3} \le x \le 81$ のとき、 エオ $\le \log_3 x \le$ カ であるから

2. 解き方の手順

$\frac{1}{3} \le x \le 81$

$\log_3(\frac{1}{3}) \le \log_3 x \le \log_3(81)$

$\log_3(3^{-1}) \le \log_3 x \le \log_3(3^4)$

$-1 \le \log_3 x \le 4$

よって、エオは $-1$、カは $4$

3. 最終的な答え

$-1 \le \log_3 x \le 4$

**39**

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。このとき、$2^{50}$ は何桁の整数であるか。また、$(\frac{2}{3})^{50}$ は小数第何位にはじめて0でない数字が現れるか。

2. 解き方の手順

$2^{50}$の桁数について：

$\log_{10}(2^{50}) = 50 \log_{10}2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$

$10^{15} < 2^{50} < 10^{16}$ であるから、 $2^{50}$ は16桁の整数である。

$(\frac{2}{3})^{50}$ について：

$\log_{10}((\frac{2}{3})^{50}) = 50(\log_{10}2 - \log_{10}3) = 50(0.3010 - 0.4771) = 50(-0.1761) = -8.805$

$(\frac{2}{3})^{50} = 10^{-8.805} = 10^{-9} \times 10^{0.195}$

$10^{-9} < (\frac{2}{3})^{50} < 10^{-8}$ なので、小数第9位にはじめて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

$2^{50}$ は 16 桁の整数である。

$(\frac{2}{3})^{50}$ は小数第 9 位にはじめて0でない数字が現れる。