与えられた2つの行列AとBについて、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列AとBについて、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

**(1) 行列Aの固有値と固有ベクトル**

* **固有値の計算:**

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 2 & -3 \\ 2 & 2 - \lambda & -6 \\ 2 & 2 & -6 - \lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-1 - \lambda)((2 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-6)(2)) - 2(2(-6 - \lambda) - (-6)(2)) - 3(2(2) - (2 - \lambda)(2))$

$= (-1 - \lambda)(-12 - 2\lambda + 6\lambda + \lambda^2 + 12) - 2(-12 - 2\lambda + 12) - 3(4 - 4 + 2\lambda)$

$= (-1 - \lambda)(\lambda^2 + 4\lambda) - 2(-2\lambda) - 3(2\lambda)$

$= -\lambda^2 - 4\lambda - \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda - 6\lambda$

$= -\lambda^3 - 5\lambda^2 - 6\lambda = -\lambda(\lambda^2 + 5\lambda + 6) = -\lambda(\lambda + 2)(\lambda + 3)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$ です。

* **固有ベクトルの計算:**

* $\lambda_1 = 0$ のとき:

$(A - 0I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y - 3z = 0$

$2x + 2y - 6z = 0$

第二式から第一式の2倍を引くと、$6y = 0$ より $y = 0$。

よって、$-x - 3z = 0$ から $x = -3z$。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda_2 = -2$ のとき:

$(A - (-2)I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y - 3z = 0$

$2x + 4y - 6z = 0$

$2x + 2y - 4z = 0$

第一式と第二式は同じ。第三式から第一式の2倍を引くと、$-2y + 2z = 0$, よって $y = z$。

$x + 2z - 3z = 0$ から $x = z$。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda_3 = -3$ のとき:

$(A - (-3)I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & -6 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y - 3z = 0$

$2x + 5y - 6z = 0$

第二式から第一式を引くと、$3y - 3z = 0$ より $y = z$。

$2x + 2z - 3z = 0$ から $2x = z$、よって $x = \frac{1}{2}z$。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。例えば $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

**(2) 行列Bの固有値と固有ベクトル**

* **固有値の計算:**

固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 3 & -1 \\ 0 & 1 - \lambda & 3 \\ 0 & -1 & 5 - \lambda \end{pmatrix}$

$|B - \lambda I| = (1 - \lambda)((1 - \lambda)(5 - \lambda) - (3)(-1)) = (1 - \lambda)(5 - \lambda - 5\lambda + \lambda^2 + 3) = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 8) = (1 - \lambda)(\lambda - 2)(\lambda - 4)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4$ です。

* **固有ベクトルの計算:**

* $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(B - I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3y - z = 0$

$3z = 0$

$-y + 4z = 0$

$z = 0$ より $y = 0$。 $x$ は任意。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda_2 = 2$ のとき:

$(B - 2I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 3y - z = 0$

$-y + 3z = 0$

$y = 3z$ を第一式に代入すると、$-x + 9z - z = 0$ より $x = 8z$。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda_3 = 4$ のとき:

$(B - 4I)\mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 3y - z = 0$

$-3y + 3z = 0$

$y = z$ を第一式に代入すると、$-3x + 3z - z = 0$ より $3x = 2z$, よって $x = \frac{2}{3}z$。

固有ベクトルは $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。例えば $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

行列A:

固有値: $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$

固有ベクトル: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

行列B:

固有値: $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4$

固有ベクトル: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$