$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とします。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とします。

2. 解き方の手順

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 3.75^n < 1000$ が成り立つということです。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10}100 \le \log_{10}3.75^n < \log_{10}1000$

$2 \le n \log_{10}3.75 < 3$

ここで、$3.75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4} = \frac{3 \times 5}{2^2} = \frac{3 \times 10/2}{2^2} = \frac{3 \times 10}{2^3}$ となるので、

$\log_{10}3.75 = \log_{10} \frac{3 \times 10}{2^3} = \log_{10}3 + \log_{10}10 - 3\log_{10}2 = \log_{10}3 + 1 - 3\log_{10}2$

$\log_{10}3.75 = 0.4771 + 1 - 3 \times 0.3010 = 1.4771 - 0.9030 = 0.5741$

したがって、$2 \le 0.5741n < 3$ となります。

各辺を$0.5741$で割ると、

$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$

$3.4837... \le n < 5.2255...$

$n$ は整数なので、$n = 4, 5$ となります。したがって、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2