3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

実数係数の3次方程式なので、$1 + \sqrt{5}i$ が解ならば、共役複素数 $1 - \sqrt{5}i$ も解である。

この2つの解を持つ2次式は、

$(x - (1 + \sqrt{5}i))(x - (1 - \sqrt{5}i)) = (x-1)^2 - (\sqrt{5}i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 5 = x^2 - 2x + 6$

である。

したがって、$x^3 + ax^2 + 12x + b = (x^2 - 2x + 6)(x + c)$ と書ける。

展開すると

$x^3 + ax^2 + 12x + b = x^3 + (c - 2)x^2 + (6 - 2c)x + 6c$

となる。

係数を比較して、

$a = c - 2$

$12 = 6 - 2c$

$b = 6c$

$12 = 6 - 2c$ より $2c = -6$ なので $c = -3$。

したがって、

$a = -3 - 2 = -5$

$b = 6(-3) = -18$

である。

3次方程式は $x^3 - 5x^2 + 12x - 18 = 0$ となり、$(x^2 - 2x + 6)(x - 3) = 0$ と因数分解できる。

よって、他の解は $1 - \sqrt{5}i$ と $3$ である。

3. 最終的な答え

$a = -5$, $b = -18$, 他の解は $1 - \sqrt{5}i$ と $3$