(1) $(ac - 2bd)^2 + 2(ad + bc)^2 = (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)$ を証明せよ。 (2) $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を証明せよ。

1. 問題の内容

(1) $(ac - 2bd)^2 + 2(ad + bc)^2 = (a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2)$ を証明せよ。

(2) $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 左辺と右辺をそれぞれ展開し、整理して等しくなることを示す。

左辺:

$(ac - 2bd)^2 + 2(ad + bc)^2 = (ac)^2 - 2(ac)(2bd) + (2bd)^2 + 2((ad)^2 + 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

$= a^2c^2 - 4abcd + 4b^2d^2 + 2(a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2)$

$= a^2c^2 - 4abcd + 4b^2d^2 + 2a^2d^2 + 4abcd + 2b^2c^2$

$= a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

右辺:

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = a^2c^2 + a^2(2d^2) + 2b^2c^2 + 2b^2(2d^2)$

$= a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

(2) 分配法則を用いて左辺を展開し、整理して右辺と等しくなることを示す。

左辺:

$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$= a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c + a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc + a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2$

$= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

3. 最終的な答え

(1)

左辺: $a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

右辺: $a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

(2)

左辺: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$