ある菓子店で、どら焼きを6個入り、8個入り、12個入りの箱で販売している。(1) 6個入りの箱と8個入りの箱を組み合わせて、どら焼きをちょうど34個買うには、それぞれの箱は何箱必要か。(2) 6個入りの箱と12個入りの箱では、どら焼きをちょうど34個買うことはできない。その理由を、6個入りの箱の数を $x$ 、12個入りの箱の数を $y$ として説明せよ。

1. 問題の内容

ある菓子店で、どら焼きを6個入り、8個入り、12個入りの箱で販売している。(1) 6個入りの箱と8個入りの箱を組み合わせて、どら焼きをちょうど34個買うには、それぞれの箱は何箱必要か。(2) 6個入りの箱と12個入りの箱では、どら焼きをちょうど34個買うことはできない。その理由を、6個入りの箱の数を $x$ 、12個入りの箱の数を $y$ として説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 6個入りの箱の数を $a$ 、8個入りの箱の数を $b$ とすると、以下の式が成り立つ。

$6a + 8b = 34$

この式を簡単にするために、両辺を2で割る。

$3a + 4b = 17$

$a$ と $b$ は自然数なので、考えられる組み合わせを探す。

* $b = 1$ のとき、$3a + 4 = 17$ となり、$3a = 13$。$a$ は整数にならないので不適。

* $b = 2$ のとき、$3a + 8 = 17$ となり、$3a = 9$。$a = 3$ なので、これは条件を満たす。

* $b = 3$ のとき、$3a + 12 = 17$ となり、$3a = 5$。$a$ は整数にならないので不適。

* $b = 4$ のとき、$3a + 16 = 17$ となり、$3a = 1$。$a$ は整数にならないので不適。

したがって、$a = 3$、$b = 2$ のみが解となる。

(2) 6個入りの箱の数を $x$ 、12個入りの箱の数を $y$ とすると、以下の式が成り立つ。

$6x + 12y = 34$

この式を簡単にするために、両辺を2で割る。

$3x + 6y = 17$

左辺は3の倍数であるが、右辺は3の倍数ではないので、この式を満たす整数 $x$ と $y$ は存在しない。したがって、6個入りの箱と12個入りの箱を組み合わせて、ちょうど34個のどら焼きを買うことはできない。

3. 最終的な答え

(1) 6個入りの箱：3箱、8個入りの箱：2箱

(2) 6個入りの箱の数を $x$、12個入りの箱の数を $y$ とすると、$3x + 6y = 17$ という式になる。左辺は3の倍数だが、右辺は3の倍数ではないため、この式を満たす整数 $x$ と $y$ は存在しない。