3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - p = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ を持つとき、以下の問いに答える。 (1) 実数 $p$ の値の範囲を求めよ。 (2) $\alpha < \beta < \gamma$ であるとき、$\alpha, \beta, \gamma$ の値の範囲を不等式で表せ。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - p = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ を持つとき、以下の問いに答える。

(1) 実数 $p$ の値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha < \beta < \gamma$ であるとき、$\alpha, \beta, \gamma$ の値の範囲を不等式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおくと、$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$ となる。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ である。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

3次方程式 $f(x) = p$ が異なる3つの実数解を持つためには、$-20 < p < 7$ が必要である。

(2) $f(x) = p$ は3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ を持つ。

$\alpha < \beta < \gamma$ であるとき、

$x = -1$ で極大値 $7$ をとる。

$x = 2$ で極小値 $-20$ をとる。

$f(-1) = 7 > p > -20 = f(2)$

$f'(x) = 6(x-2)(x+1)$ であるから、

$x < -1$ で $f'(x) > 0$

$-1 < x < 2$ で $f'(x) < 0$

$x > 2$ で $f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値を、$x = 2$ で極小値をとる。

$\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$ となる。

ここで、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x = p$ を満たす $x$ が$\alpha, \beta, \gamma$。

$f(x)$ は、$x=-1$ で極大値7、$x=2$で極小値-20をとる。

$f(\alpha) = f(\beta) = f(\gamma) = p$

$-20 < p < 7$ より、$\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$

3. 最終的な答え

(1) $-20 < p < 7$

(2) $\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$