問題は2つあります。 (1) $(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})$ を計算する問題。 (2) $a > 0$のとき、$9^a + 9^{-a} = 14$であるとき、(ア) $3^a + 3^{-a}$と(イ) $27^a + 27^{-a}$の値を求める問題。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})$ を計算する問題。

(2) $a > 0$のとき、$9^a + 9^{-a} = 14$であるとき、(ア) $3^a + 3^{-a}$と(イ) $27^a + 27^{-a}$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})$ の計算

和と差の積の公式 $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ を利用します。

$(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2)

(ア) $3^a + 3^{-a}$ の計算

$9^a + 9^{-a} = 14$ を利用します。

$9^a + 9^{-a} = (3^2)^a + (3^2)^{-a} = (3^a)^2 + (3^{-a})^2 = (3^a)^2 + (3^{-a})^2 + 2\cdot 3^a \cdot 3^{-a} - 2\cdot 3^a \cdot 3^{-a} = (3^a + 3^{-a})^2 - 2 = 14$

よって、$(3^a + 3^{-a})^2 = 16$

$3^a + 3^{-a} = \pm 4$

$a > 0$ より $3^a > 0$ かつ $3^{-a} > 0$ であるので、$3^a + 3^{-a} > 0$ なので、$3^a + 3^{-a} = 4$

(イ) $27^a + 27^{-a}$ の計算

$27^a + 27^{-a} = (3^3)^a + (3^3)^{-a} = (3^a)^3 + (3^{-a})^3$

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を利用します。

$(3^a)^3 + (3^{-a})^3 = (3^a + 3^{-a})^3 - 3 \cdot 3^a \cdot 3^{-a} (3^a + 3^{-a})$

$= (3^a + 3^{-a})^3 - 3 (3^a + 3^{-a})$

ここで、$3^a + 3^{-a} = 4$ なので、

$27^a + 27^{-a} = 4^3 - 3 \cdot 4 = 64 - 12 = 52$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) (ア) $4$ (イ) $52$