与えられた3次方程式 $x^3 + 2x - 3 = 0$ を $x-a$ で割る筆算の途中経過が示されています。この筆算の結果を利用して、$a$ の値を求め、方程式の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 2x - 3 = 0$ を $x-a$ で割る筆算の途中経過が示されています。この筆算の結果を利用して、$a$ の値を求め、方程式の解を求めます。

2. 解き方の手順

筆算の結果から、余りが $(1+a^2)x - 3$ となっています。割り切れる場合、余りは0になるはずなので、$(1+a^2)x - 3 = 0$ がすべての $x$ に対して成り立つ必要があります。これは、$1+a^2 = 0$ かつ $-3=0$ を意味しますが、$-3 = 0$ は明らかに矛盾です。

そこで、筆算の過程に誤りがないか確認します。

まず、$x^3 + 2x - 3$ を $x-a$ で割ると、商は $x^2$ で始まり、$x^2(x-a) = x^3 - ax^2$ です。

$x^3 + 2x - 3 - (x^3 - ax^2) = ax^2 + 2x - 3$ となります。

次に、$ax^2 + 2x - 3$ を $x-a$ で割るには、商は $a x$ になります。

$a x (x-a) = ax^2 - a^2 x$ です。

$ax^2 + 2x - 3 - (ax^2 - a^2 x) = (2+a^2)x - 3$ となります。

したがって、

$x^3 + 2x - 3 = (x-a)(x^2 + ax) + (2+a^2)x - 3$ です。

さらに割り算を続けると、商は $x^2 + ax + (2+a^2)$ となり、

$(2+a^2)(x-a) = (2+a^2)x - a(2+a^2)$ なので、

$(2+a^2)x - 3 - ((2+a^2)x - a(2+a^2)) = a(2+a^2) - 3 = 2a + a^3 - 3$ が余りとなります。

この余りが0であるためには $a^3 + 2a - 3 = 0$ でなければなりません。

これは元の3次方程式に $a=x$ を代入したものです。したがって、$a=1$ が解の一つです。

$a^3 + 2a - 3 = (a-1)(a^2 + a + 3) = 0$

$a^2 + a + 3 = 0$ は実数解を持たないため、$a = 1$ が唯一の実数解です。

したがって、

$x^3 + 2x - 3 = (x-1)(x^2 + x + 3) = 0$ です。

$x^2 + x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$