$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$10^3 \le 13.5^n < 10^4$ が成り立つということである。両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} 10^3 \le \log_{10} 13.5^n < \log_{10} 10^4$$

$$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$$

ここで、$\log_{10} 13.5$ を計算する。

$13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3^3}{2}$ であるから、

$$\log_{10} 13.5 = \log_{10} \frac{3^3}{2} = \log_{10} 3^3 - \log_{10} 2 = 3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2$$

$$\log_{10} 13.5 = 3 \times 0.4771 - 0.3010 = 1.4313 - 0.3010 = 1.1303$$

したがって、

$$3 \le 1.1303 n < 4$$

各辺を $1.1303$ で割ると、

$$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$$

$$2.654 \le n < 3.539$$

$n$ は整数であるから、 $n = 3$ となる。

しかし、$n=3$だけでなく、$1000 \le 13.5^n < 10000$ を満たす整数$n$の個数を求める必要があるので，

$$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$$

を計算すると

$$2.6541 \le n < 3.5389$$

したがって、$n = 3$ である。

整数部分が4桁となるのは、$1000 \le 13.5^n < 10000$ であるときである。この不等式の常用対数をとると、

$$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$$

$$3 \le n (3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$$

$$3 \le n (3 \times 0.4771 - 0.3010) < 4$$

$$3 \le n (1.4313 - 0.3010) < 4$$

$$3 \le 1.1303 n < 4$$

$$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$$

$$2.6541 \le n < 3.5389$$

$n$は整数なので、$n=3$。

$13.5^n$の整数部分が4桁となる整数$n$は$n=3$のみであり、その個数は1個である。

3. 最終的な答え

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