問題47.3: 1次変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ とする。$f$によって点 $P'(1,2)$ に移される元の点 $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

問題47.3: 1次変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ とする。$f$によって点 $P'(1,2)$ に移される元の点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

元の点$P$の座標を $(x,y)$ とすると、$f$によって$P$が$P'(1,2)$に移されることは、

$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ で表されます。

すなわち、

$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くことで、$x$と$y$を求めます。

行列 $A$ の逆行列を $A^{-1}$ とすると、

$A^{-1} = \frac{1}{3 \cdot 2 - 5 \cdot 1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 2 \\ (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 10 \\ -1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

元の点Pの座標は $(-8, 5)$。