1次変換 $f$ によって、点 $P(1,1)$ と点 $Q(1,3)$ がどちらも点 $R(4,1)$ に移されるとき、$f$ に逆変換が存在するかどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

1次変換 $f$ によって、点 $P(1,1)$ と点 $Q(1,3)$ がどちらも点 $R(4,1)$ に移されるとき、$f$ に逆変換が存在するかどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

1次変換 $f$ が逆変換を持つための必要十分条件は、その変換を表す行列の行列式が0でないことです。

1次変換 $f$ が存在すると仮定し、その変換を表す行列を

$$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$$

とします。

点 $P(1,1)$ が点 $R(4,1)$ に移されることから、

$$

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

$$

つまり、

$$

\begin{cases} a + b = 4 \\ c + d = 1 \end{cases}

$$

点 $Q(1,3)$ が点 $R(4,1)$ に移されることから、

$$

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

$$

つまり、

$$

\begin{cases} a + 3b = 4 \\ c + 3d = 1 \end{cases}

$$

これらの連立方程式を解きます。

最初の連立方程式から

$$

\begin{cases} a + b = 4 \\ a + 3b = 4 \end{cases}

$$

2番目の式から1番目の式を引くと $2b = 0$ となり、$b = 0$。これを1番目の式に代入すると $a = 4$。

2番目の連立方程式から

$$

\begin{cases} c + d = 1 \\ c + 3d = 1 \end{cases}

$$

2番目の式から1番目の式を引くと $2d = 0$ となり、$d = 0$。これを1番目の式に代入すると $c = 1$。

したがって、$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

行列 $A$ の行列式は $4 \times 0 - 0 \times 1 = 0$ です。

行列式が0であるため、$f$ には逆変換が存在しません。

3. 最終的な答え

$f$ に逆変換は存在しない。