与えられた3つの対数 $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの対数 $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

各対数の値を計算し、それらを比較します。

まず、それぞれの対数を簡単にします。

(1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$ の計算:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9} = \log_{2^{-1}} 3^{-2} = \frac{-2}{-1} \log_{2} 3 = 2\log_{2} 3 = \log_{2} 3^2 = \log_{2} 9$

(2) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$ の計算:

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} = \log_{4^{-1}} 3^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_{4} 3 = \log_{4} 3 = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 4} = \frac{\log_{2} 3}{2} = \frac{1}{2} \log_{2} 3$

(3) $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の計算:

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \log_{8^{-1}} 3 = -\log_{8} 3 = -\frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 8} = -\frac{\log_{2} 3}{3} = -\frac{1}{3} \log_{2} 3$

ここで、$\log_2 3$ は正の値であることに注意します。

次に、3つの対数の値を比較します。

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9} = \log_{2} 9$

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \log_{2} 3$

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = -\frac{1}{3} \log_{2} 3$

$\log_{2} 3 > 1$ であるので $\log_{2} 9 = \log_{2} 3^2 = 2 \log_{2} 3 > \frac{1}{2} \log_{2} 3 > -\frac{1}{3} \log_{2} 3$ となります。

したがって、

$-\frac{1}{3} \log_{2} 3 < \frac{1}{2} \log_{2} 3 < 2\log_{2} 3$

つまり、

$\log_{\frac{1}{8}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{8}} 3, \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}, \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$