不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

代数学不等式対数指数常用対数
2025/7/7

1. 問題の内容

不等式 2n<10002^n < 1000 を満たす最大の整数 nn を求める問題です。ただし、log102=0.3010\log_{10} 2 = 0.3010log103=0.4771\log_{10} 3 = 0.4771 が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺の常用対数をとります。
log102n<log101000\log_{10} 2^n < \log_{10} 1000
対数の性質を用いて変形します。
nlog102<log10103n \log_{10} 2 < \log_{10} 10^3
nlog102<3n \log_{10} 2 < 3
log102=0.3010\log_{10} 2 = 0.3010 を代入します。
0.3010n<30.3010n < 3
両辺を 0.3010 で割ります。
n<30.3010n < \frac{3}{0.3010}
n<9.966777...n < 9.966777...
nn は整数であるため、2n<10002^n < 1000 を満たす最大の整数 nn は 9 です。

3. 最終的な答え

9

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